La distribution de Bernoulli est un modèle théorique utilisé pour représenter une variable aléatoire discrète qui ne peut aboutir qu'à deux résultats mutuellement exclusifs.
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Fonction de probabilité de Bernoulli
Nous définissons z comme la variable aléatoire Z une fois connue et fixée. C'est-à-dire que Z change aléatoirement (le dé tourne et tourne en un seul jet) mais quand on l'observe, on fixe la valeur (quand le dé tombe sur la table et donne un résultat précis). C'est à ce moment-là que nous évaluons le résultat et lui attribuons un (1) ou zéro (0) selon ce que nous considérons comme "succès" ou non "succès".
Une fois la variable aléatoire Z définie, elle ne peut prendre que deux valeurs spécifiques : zéro (0) ou un (1). Alors la fonction de distribution de probabilité de la distribution de Bernoulli ne sera non nulle (0) que lorsque z vaut zéro (0) ou un (1). Le cas contraire serait que la fonction de distribution de la distribution de Bernoulli est zéro (0) puisque z sera n'importe quelle valeur autre que zéro (0) ou un (1).
La fonction ci-dessus peut également être réécrite comme :
Si nous substituons z = 1 dans la première formule de la fonction de probabilité, nous verrons que le résultat est p qui coïncide avec la valeur de la deuxième fonction de probabilité lorsque z = 1. De même, lorsque z = 0, nous obtenons (1-p) pour toute valeur de p.
Moments de la fonction
Les moments d'une fonction de distribution sont des valeurs spécifiques qui enregistrent la mesure de distribution à des degrés divers. Dans cette section, nous ne montrons que les deux premiers moments : l'espérance mathématique ou la valeur attendue et la variance.
Premier moment : valeur attendue.
Deuxième moment : la variance.
Exemple de moments Bernouilli
On suppose que l'on veut calculer les deux premiers moments d'une distribution de Bernoulli étant donné une probabilité p = 0,6 telle que
Où D est une variable aléatoire discrète.
Ainsi, nous savons que p = 0,6 et que (1-p) = 0,4.
- Premier moment : valeur attendue.
Deuxième moment : la variance.
De plus, nous voulons calculer la fonction de distribution étant donné la probabilité p = 0,6. Ensuite:
Étant donné la fonction de probabilité :
Quand z = 1
Quand z = 0
La couleur bleue indique que les parties qui coïncident entre les deux manières (équivalentes) d'exprimer la fonction de distribution de probabilité de la distribution de Bernoulli.