Le théorème de Bayes est utilisé pour calculer la probabilité d'un événement, en ayant des informations à l'avance sur cet événement.
Nous pouvons calculer la probabilité d'un événement A, sachant également que cet A remplit une certaine caractéristique qui détermine sa probabilité. Le théorème de Bayes comprend la probabilité inversement au théorème de probabilité totale. Le théorème de probabilité totale fait une inférence sur un événement B, à partir des résultats des événements A. Pour sa part, Bayes calcule la probabilité de A conditionnelle à B.
Le théorème de Bayes a été largement remis en question. Ce qui est principalement dû à sa mauvaise application. Puisque, tant que les hypothèses d'événements disjoints et exhaustifs sont remplies, le théorème est totalement valide.
Formule du théorème de Bayes
Pour calculer la probabilité telle que définie par Bayes dans ce type d'événement, nous avons besoin d'une formule. La formule est mathématiquement définie comme :
Où B est l'événement sur lequel nous avons des informations antérieures et A (n) sont les différents événements conditionnés. Dans la partie du numérateur nous avons la probabilité conditionnelle, et dans la partie inférieure la probabilité totale. En tout cas, bien que la formule semble un peu abstraite, elle est très simple. Pour le démontrer, nous utiliserons un exemple où au lieu de A (1), A (2) et A (3), nous utiliserons directement A, B et C.
Exemple de théorème de Bayes
Une entreprise possède une usine aux États-Unis qui possède trois machines, A, B et C, qui produisent des contenants pour bouteilles d'eau. La machine A est connue pour produire 40 % de la quantité totale, la machine B 30 % et la machine C 30 %. Chaque machine est également connue pour produire des emballages défectueux. De telle sorte que la machine A produit 2 % de colis défectueux de sa production totale, la machine B 3 % et la machine C 5 %. Cela dit, deux questions se posent :
P (A) = 0,40 P (D/A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D/B) = 0,03
P(C) = 0,30 P (D/C) = 0,05
1. Si un conteneur a été fabriqué par l'usine de cette société aux États-Unis, quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?
La probabilité totale est calculée. Puisque, à partir des différents événements, on calcule la probabilité qu'il soit défectueux.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Exprimé en pourcentage, nous dirions que la probabilité qu'un conteneur fabriqué par l'usine de cette entreprise aux États-Unis soit défectueux est de 3,2 %.
2. Poursuivant avec la question précédente, si un conteneur est acquis et qu'il est défectueux, quelle est la probabilité qu'il ait été fabriqué par la machine A ? et par la machine B ? et par la machine C ?
Le théorème de Bayes est utilisé ici. Nous avons une information préalable, c'est-à-dire que nous savons que l'emballage est défectueux. Bien entendu, sachant qu'il est défectueux, on veut savoir quelle est la probabilité qu'il ait été produit par l'une des machines.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Sachant qu'un contenant est défectueux, la probabilité qu'il ait été produit par la machine A est de 25 %, qu'il ait été produit par la machine B est de 28 % et qu'il ait été produit par la machine C est de 47 %.
