La hauteur d'un triangle est ce segment qui joint un sommet du triangle avec son côté opposé ou son extension, étant perpendiculaire à celui-ci, c'est-à-dire qu'un angle droit (90º) est formé à l'intersection.
Chaque triangle a alors trois hauteurs, chacune par rapport à chacun de ses côtés.
Les hauteurs du triangle se coupent à l'orthocentre, qui dans la figure ci-dessous serait le point O, où en plus les hauteurs sont les segments AD, BE et CF.
Les points D, E et F sont appelés pieds de hauteur.
Il est à noter que, en prenant l'image ci-dessus comme référence, il faut respecter que :
Hauteur d'un triangle isocèle
Un cas particulier est celui d'un triangle isocèle (qui a deux côtés de même mesure), puisque la hauteur du côté différent (incongru) coupe ce côté en son milieu. C'est ainsi que nous le voyons dans l'image du bas.
Dans la figure ci-dessus, AB est égal à AC et BC, qui est le côté différent, est coupé par sa hauteur à son milieu (D). Par conséquent, BD est égal à DC.
Hauteur d'un triangle rectangle
Dans le cas d'un triangle rectangle, l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), est divisée par sa hauteur en deux segments, que nous appellerons a et b, et la longueur de la hauteur (h) est égale au carré racine du produit de a et b (voir image de référence).
Dans l'image ci-dessus, AC est l'hypoténuse et BD, sa hauteur.
Application en hauteur
La hauteur est une information importante pour un triangle, car en multipliant la hauteur par sa base respective et en divisant par deux on obtient l'aire du triangle.
Dans l'équation ci-dessus, A est l'aire du triangle, b est la longueur du côté qui est la base et h est la hauteur.
Donc si nous avons, par exemple, un triangle rectangle dont l'hypoténuse est divisée en un segment de 4 mètres et un autre segment de 9 mètres. Quelle est l'aire de la figure ? Il faut retenir la formule présentée dans la section précédente :
Ensuite, nous remplaçons dans la formule pour la zone:
