On entend par combinatoire sans répétition les différents ensembles que l'on peut former avec « n » éléments, choisis de x dans x. Chaque ensemble doit différer du précédent par au moins un de ses éléments (l'ordre n'a pas d'importance) et ceux-ci ne peuvent pas être répétés.
La combinatoire sans répétition est d'usage courant en statistique et en mathématiques. Cela correspond à de nombreuses situations de la vie réelle et son application est assez simple.
Prenez, par exemple, un étudiant qui a un examen de 4 questions. Sur les 4 questions, il doit en choisir 3. Combien de combinaisons différentes l'élève pourrait-il faire ? Si on raisonnait un peu, on verrait (sans vraiment appliquer la formule) que l'élève pourrait choisir comment répondre aux 3 questions de quatre manières différentes.
- Ensemble / option 1 : Répondre aux questions 1,2,3.
- Ensemble / option 2 : Répondre aux questions 1,2,4.
- Ensemble / option 3 : Répondez aux questions 1,3,4.
- Ensemble / option 4 : Répondez aux questions 2,3,4.
Comme on peut le voir, l'élève peut former 4 ensembles (n) de 3 éléments (x). Ainsi, la combinatoire sans répétition nous dit comment former ou grouper une quantité finie de données/observations, en groupes d'une certaine quantité sans qu'aucun des éléments ne puisse se répéter dans chaque groupe. C'est la principale différence entre la combinatoire avec répétition (les éléments de chaque groupe peuvent être répétés) et la combinatoire sans répétition (aucun élément ne peut être répété dans chaque groupe)
Pour souligner dans cet exemple, qu'il s'agit d'un cas de combinatoire sans répétition, puisque l'étudiant ne peut pas choisir de poser une des questions plus d'une fois. Par conséquent, les éléments des ensembles ne peuvent pas être répétés.
Dans le cas précédent, étant donné que le nombre total d'éléments est petit et que le montant de l'ensemble est élevé, le nombre d'options est petit et peut être facilement déduit sans appliquer la formule. Dans le cas de l'application directe de la formule, le numérateur serait 24 (4 * 3 * 2 * 1) et le dénominateur serait 6 (3 * 2 * 1 * 1) avec lequel on arriverait au calcul de la même manière sans réfléchir à la façon dont nous pourrions regrouper ces quatre questions en séries de trois.
Comment calculer la combinatoire sans répétition ?
La formule de la combinatoire sans répétition est :
Où:
- m = Total des observations
- X = Nombre d'éléments sélectionnés
Exemple de combinatoire sans répétition
Imaginons un peloton militaire de 12 soldats. Le capitaine de l'armée veut former des groupes de 2 soldats pour s'infiltrer derrière les lignes ennemies à différents points, combien de groupes différents pourrait-il former ?
Pour résoudre le problème, nous devons d'abord identifier le nombre total d'éléments. Dans ce cas, il y a 12 soldats au total, donc nous avons déjà notre n. Puisque le capitaine veut des groupes de 2, nous savons déjà quel est notre x. Sachant cela, nous pourrions substituer dans la formule et avoir le nombre de combinaisons de groupes de 2.
- m = 12
- X = 2
Lors du remplacement :
En appliquant la factorielle pour le dénominateur, nous aurions 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Pour le dénominateur nous avons 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Notre nombre combinatoire est = 479,01,600 / 7,257,600 = 66.
Comme on peut le voir, le capitaine peut former 66 couples différents de soldats parmi les 12 qu'il possède.