Le théorème de Thales est une loi de la géométrie qui nous dit que si une ligne est tracée parallèlement à chaque côté d'un triangle, nous aurons un triangle similaire au triangle d'origine.
Autrement dit, si l'on coupe un triangle en traçant une ligne parallèle à l'un de ses côtés, on obtiendra un triangle similaire à celui qui existait auparavant.
À ce stade, il convient de noter que deux triangles sont similaires lorsque leurs angles correspondants sont congrus (ils mesurent la même chose) et que leurs côtés homologues sont proportionnels l'un à l'autre.
Pour mieux le comprendre, regardons la figure suivante :
Par le théorème de Thales, on peut conclure que α = δ et β = ε
De plus, comme nous l'avons mentionné précédemment, les côtés sont proportionnels, il est donc vrai que :
Une anecdote relatée par l'historien Plutarque raconte que Thalès de Milet, dans un de ses voyages, s'est servi de ce théorème pour connaître la hauteur des pyramides de Gizeh (celles de Khéops, Khéphren et Menkaourê) en Egypte. Ainsi, il a décidé de poser un bâton verticalement contre le sol, en attendant que la longueur de l'objet soit égale à l'ombre qu'il projetait. A cette époque, l'ombre de la pyramide serait également égale à sa hauteur. Dans ce cas, les triangles similaires sont :
- Celui dont les deux côtés sont la tige et son ombre.
- Le triangle qui a pour l'un de ses côtés la hauteur de la pyramide et, pour l'autre côté, son ombre.
Pour mieux le comprendre, imaginons sur la figure ci-dessus que la pyramide est celle formée par les sommets D, E et F, sa hauteur est le segment HE et son ombre, IE. Pendant ce temps, la tige est le segment AB et son ombre, CB. Par conséquent, AB / CB = HE / IE. Ceci, compte tenu du fait que les rayons du soleil sont parallèles (ils ne se croisent pas ou dans leur prolongement), ils formeront donc le même angle avec la tige qu'avec la pyramide (les angles α et sont égaux).
Exemple de théorème de Thales
Pour mieux comprendre le théorème de Thales, regardons la figure suivante :
Si BC mesure 7,3 mètres, DE mesure 3,6 mètres et AB mesure 6,2 mètres. Quelle est la longueur de AD ?
On isole dans la formule montrée précédemment et on a :
7,3 / 3,6 = 6,2 / DA
2,0278 = 6,2 / DA
AD = 3,0575 mètres
Extension du théorème de Thales
Le théorème de Thales peut être étendu à l'analyse de deux lignes quelconques coupées par d'autres lignes parallèles entre elles, comme on le voit dans l'image suivante :
Ensuite, il est vrai que :
C'est vrai parce que nous devons considérer ces lignes comme faisant partie d'un triangle ou, pour le voir d'une autre manière, si nous prolongeons les lignes AB et CD, elles se croiseront. Nous ferions mieux de le voir dans l'image suivante:
Deuxième théorème de Thales
Il existe aussi un deuxième théorème de Thalès selon lequel, si nous avons un triangle formé par le diamètre d'une circonférence et deux droites qui l'intersectent (elles coupent la figure en deux points), l'angle opposé au diamètre est droit, c'est-à-dire , , mesure 90º.
Il faut se rappeler qu'un diamètre est ce segment qui, passant par le centre de la circonférence, rejoint deux points opposés de ladite figure.
Nous pouvons mieux voir ce qui précède dans l'image suivante :
Nous pouvons vérifier ce théorème en tenant compte du fait que AC, AD et AB mesurent la même chose et sont égaux au rayon de la circonférence (le rayon est tout segment qui relie un point de la circonférence au centre de la figure et est égal à la moitié diamètre). Ainsi, les triangles ABC et ABD sont isocèles et leurs deux côtés similaires sont des angles opposés qui mesurent également la même chose, c'est-à-dire :
AC = AD = AB = r (rayon de la circonférence)
= et = δ
Ensuite, si nous voyons le triangle CBD et nous rappelons que les angles internes d'un triangle doivent totaliser 180º, nous avons :
+ β + + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
+ β = 90º
Par conséquent, le triangle CBD est un triangle rectangle.