Le processus de Poisson est une série temporelle construite à partir d'expériences dont la fréquence peut être approchée de manière satisfaisante à une distribution de Bernoulli et dépend d'un paramètre constant appelé intensité.
En d'autres termes, le processus de Poisson est une séquence d'expériences qui suit une distribution de Bernoulli et dépend d'un paramètre qui indique l'intensité du processus.
La série chronologique est impliquée car la distribution de Poisson est destinée à modéliser la fréquence des événements au cours d'un intervalle de temps fixe.
La base étant une distribution de Bernoulli, une distinction est faite entre Succès Oui Sans succès. Voici défini Succès lorsque l'événement que nous voulons contrôler se produit et Sans succès quand ça n'arrive pas.
Paramètre
La lettre grecque « lambda » est utilisée pour identifier l'intensité ou le taux d'arrivée du processus de Poisson.
Ce paramètre est constant et strictement positif, c'est-à-dire toujours supérieur à zéro.
Formule
Étant donné un intervalle de temps de longueur, t, et le taux d'arrivée des événements, lambda, le nombre attendu d'événements au cours de cet intervalle de temps est
Hypothèses
Pour que le processus de Poisson soit réalisable, les hypothèses suivantes doivent être remplies :
- La probabilité de succès sur une très courte période de temps est le paramètre lambda multiplié par cette période de temps.
- La probabilité que plus d'un événement de succès se produise dans l'intervalle de temps défini n'est pas significative.
En d'autres termes, la probabilité que plus d'une expérience réussisse dans un intervalle de temps fixe est très faible, et donc non importante ou non significative.
- La probabilité qu'un événement réussi se produise pendant un intervalle de temps défini ne dépend pas de ce qui s'est passé précédemment.
Autrement dit, chaque expérience réussie est indépendante de l'expérience précédente. Par exemple, dans le cas de lancer une pièce pendant 1 minute, la probabilité qu'elle tombe face ne dépend pas de ce qui a été lancé au lancer précédent.
Application
Le processus de Poisson est connu en statistique comme un processus stochastique qui essaie d'enregistrer des événements très improbables en temps continu.
Par exemple, dans le domaine de l'assurance, le processus de Poisson peut être utilisé pour calculer la probabilité de ruine d'une compagnie d'assurance.
Exemple de processus de Poisson
Nous supposons que nous voulons calculer le nombre total de voiliers qui partent à la pêche en une demi-heure. On sait qu'en moyenne 4 voiliers partent toutes les 5 minutes.
Ainsi, nous pouvons faire correspondre les éléments suivants :
Le nombre prévu de voiliers qui iront pêcher dans une demi-heure sera de :
24 voiliers iront pêcher au total pendant une demi-heure en tenant compte du fait que 4 voiliers devraient sortir toutes les 5 minutes.
