Matrice non symétrique - Qu'est-ce que c'est, définition et concept
Une matrice non symétrique est une matrice non carrée où les éléments de la matrice transposée sont dans des positions différentes de celles des éléments de la matrice d'origine.
En d'autres termes, la matrice non symétrique est une matrice où le nombre de lignes (n) est différent du nombre de colonnes (m) et la transposition de la matrice est différente de la matrice d'origine.
Il est important de ne pas confondre les matrices non symétriques avec les matrices antisymétriques car ce sont des concepts très différents et font référence à différents éléments au sein de la matrice.
Pour qu'une matrice soit symétrique, elle doit être une matrice carrée et elle doit être égale à sa matrice transposée. Autrement dit, que le nombre de lignes (n) est égal au nombre de colonnes (m) et que les éléments de la matrice ne changent pas une fois que les lignes ont été modifiées par les colonnes.
Mathématiquement, le concept de symétrie signifie qu'en appliquant l'opération de transposition, les éléments de la matrice ne changeront pas.
La matrice symétrique et les miroirs
Nous comprendrons mieux le concept de matrice non symétrique si nous pensons à l'effet que produit un miroir.
Si nous nous regardons dans le miroir, nous verrons notre visage se refléter; si nous levons une main, une main se lèvera aussi dans le miroir. De la même manière que si nous faisons un geste, le même geste réfléchi apparaîtra.
Eh bien, la même chose se produit avec la diagonale principale d'une matrice symétrique. Les éléments au-dessous ou au-dessus de la diagonale principale seront les mêmes. C'est-à-dire que la diagonale principale d'une matrice symétrique agit comme un miroir des éléments qui l'entourent.
Étant donné une matrice symétrique S,
La matrice S transposé aurait la forme suivante :
Pour plus d'informations sur ses propriétés mathématiques, consultez l'article sur la matrice symétrique.
La matrice non symétrique et les miroirs
Dans le cas de la matrice non symétrique, c'est comme si le miroir était cassé.
Et lorsqu'un miroir est cassé, il ne reflète pas bien les éléments qui se trouvent devant lui. Nous pouvons lever la main droite et voir que quatre mains sont levées ou aucune n'est levée.
Donc, en appliquant la même logique, la matrice non symétrique consiste à ne pas avoir les mêmes éléments au-dessus ou en dessous de la diagonale principale et aussi qu'ils ne sont pas égaux.
Tel que:
Dans cette matrice, nous ne pouvons pas trouver la diagonale principale et, par conséquent, il n'y a pas de symétrie dans le nombre d'éléments. De plus, si nous transposons la matrice précédente, nous verrons qu'elle ne conserve pas son état d'origine.
La matrice N.-É. transposé aurait la forme suivante :
résumé
Lorsque l'on rencontre le concept de matrice non symétrique, il suffit de penser à la matrice symétrique et de mettre une négation devant ses caractéristiques. C'est-à-dire qu'une matrice non symétrique sera telle qu'elle satisfasse :
- Matrice ne pas carré.
- Matrice transposée ne pas égal à la matrice d'origine.
Il peut sembler facile de se rappeler ce qu'est une matrice non symétrique, mais lorsque nous travaillons avec des matrices antisymétriques, nous confondons parfois les concepts.
