L'unité imaginaire est la racine carrée d'un nombre négatif qui, multiplié par un nombre réel, forme un nombre imaginaire et est exprimé par un i.
En d'autres termes, l'unité imaginaire est la racine carrée de -1 et crée un nombre imaginaire multiplié par un nombre réel.
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Formule d'unité imaginaire
L'unité imaginaire s'exprime sous la forme :
Le "i" est utilisé pour désigner l'unité imaginaire puisqu'il vient de l'anglais, nombres imaginaires. Comme nous ne pouvons pas utiliser les nombres réels pour résoudre l'équation précédente qui semble impossible, nous devrons « imaginer » un nombre qui le fait.
Pour comprendre d'où vient l'égalité ci-dessus, nous allons supprimer la racine droite de l'égalité et carré le i. Une fois élevé, on peut le décomposer comme le produit de deux i, tel que :
Maintenant, nous pensons, y a-t-il un nombre qui, multiplié par lui-même, donne un nombre négatif ?
Si nous pensons à un nombre réel, la réponse est non.
Si nous pensons à un nombre imaginaire, la réponse est oui.
Exemple
En acceptant la propriété précédente, on peut résoudre l'équation suivante :
Ce résultat peut être réduit pour le rendre plus familier en supprimant la puissance à gauche et en ajoutant la racine carrée à droite :
L'équation ci-dessus est l'expression d'un nombre imaginaire, composé de la partie réelle, le nombre 8, et de la partie imaginaire, i, c'est-à-dire l'unité imaginaire.
Propriétés de l'unité imaginaire
L'unité imaginaire a trois propriétés.
Propriété 1
1 je = je
Multiplier 1 par i produit un effet neutre.
Propriété 2
je je = -1
-i je = 1
Cette propriété est la plus importante puisque seuls les nombres imaginaires la possèdent.
Propriété 3
-1 je = -i
Multiplier -1 par i produit un changement de signe dans i.
Application
Puisque l'unité imaginaire fait partie des nombres imaginaires, son utilisation est très pratique pour résoudre des problèmes mathématiques qui ne peuvent pas être résolus par des nombres réels.