Polynôme de Taylor - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

Le polynôme de Taylor est une approximation polynomiale d'une fonctionm fois dérivables en un point précis.

En d'autres termes, le polynôme de Taylor est une somme finie de dérivées locales évaluées en un point spécifique.

Mathématiquement

Nous définissons:

f (x) : fonction de X.

f (x₀): fonction deXà un point précis x₀. Formellement il est écrit :

F^(f)(X):m-ième dérivée de la fonction f (x).

Applications

L'expansion de Taylor est généralement appliquée aux actifs et produits financiers dont le prix est exprimé comme une fonction non linéaire. Par exemple, le prix d'un titre de créance à court terme est une fonction non linéaire qui dépend des taux d'intérêt. Un autre exemple serait les options, où les facteurs de risque et la rentabilité sont des fonctions non linéaires. Le calcul de la durée d'une obligation est un polynôme de Taylor du premier degré.

Exemple de polynôme de Taylor

On veut trouver le second ordre de l'approximation de Taylor de la fonction f (x) en un point x₀=1.

1. On fait les dérivées pertinentes de la fonction f (x).

Dans ce cas, ils nous demandent jusqu'au second ordre, nous allons donc faire les dérivées première et seconde de la fonction f(x):

• Dérivée première :

• Dérivée seconde :

2. Nous substituons x₀= 1 dans f(x), f'(x) et f''(x) :

3. Une fois que nous avons la valeur des dérivées au point x₀= 1, nous le substituons dans l'approximation de Taylor :

On corrige un peu le polynôme :

Vérification des valeurs

L'approximation de Taylor sera adéquate plus on se rapproche de x₀ être les valeurs. Pour vérifier cela, on substitue des valeurs proches de x₀ à la fois dans la fonction originale et dans l'approximation de Taylor ci-dessus :

Quand x₀=1

Fonction d'origine :

Approximation de Taylor :

Quand x₀=1,05

Fonction d'origine :

Approximation de Taylor :

Quand x₀=1,10

Fonction d'origine :

Approximation de Taylor :

Dans le premier cas où x₀= 1, nous voyons que la fonction originale et l'approximation de Taylor nous donnent le même résultat. Ceci est dû à la composition du polynôme de Taylor que nous avons créé en utilisant les dérivées locales. Ces dérivés ont été évalués à un point précis, x₀= 1, afin d'obtenir une valeur et de créer le polynôme. Donc, plus on s'éloigne de ce point particulier, x₀= 1, moins l'approximation sera appropriée pour la fonction non linéaire d'origine. Dans les cas où x₀= 1,05 et x₀= 1,10 il y a une différence significative entre le résultat de la fonction originale et l'approximation de Taylor.

Mais… la différence est très petite, n'est-ce pas ?

Représentation polynomiale de Taylor

Si on étend les extrêmes (où l'approximation s'éloigne de x₀=1):

À première vue, cela peut sembler insignifiant, mais lorsque nous travaillons sur le graphique et faisons des approximations, il est très important de prendre en compte au moins les quatre premières décimales. La base des approximations est la précision.