Le polynôme de Taylor est une approximation polynomiale d'une fonctionm fois dérivables en un point précis.
En d'autres termes, le polynôme de Taylor est une somme finie de dérivées locales évaluées en un point spécifique.
Mathématiquement
Nous définissons:
f (x) : fonction de X.
f (x0): fonction deXà un point précis x0. Formellement il est écrit :
F(f)(X):m-ième dérivée de la fonction f (x).
Applications
L'expansion de Taylor est généralement appliquée aux actifs et produits financiers dont le prix est exprimé comme une fonction non linéaire. Par exemple, le prix d'un titre de créance à court terme est une fonction non linéaire qui dépend des taux d'intérêt. Un autre exemple serait les options, où les facteurs de risque et la rentabilité sont des fonctions non linéaires. Le calcul de la durée d'une obligation est un polynôme de Taylor du premier degré.
Exemple de polynôme de Taylor
On veut trouver le second ordre de l'approximation de Taylor de la fonction f (x) en un point x0=1.
1. On fait les dérivées pertinentes de la fonction f (x).
Dans ce cas, ils nous demandent jusqu'au second ordre, nous allons donc faire les dérivées première et seconde de la fonction f(x):
- Dérivée première :
- Dérivée seconde :
2. Nous substituons x0= 1 dans f(x), f'(x) et f''(x) :
3. Une fois que nous avons la valeur des dérivées au point x0= 1, nous le substituons dans l'approximation de Taylor :
On corrige un peu le polynôme :
Vérification des valeurs
L'approximation de Taylor sera adéquate plus on se rapproche de x0 être les valeurs. Pour vérifier cela, on substitue des valeurs proches de x0 à la fois dans la fonction originale et dans l'approximation de Taylor ci-dessus :
Quand x0=1
Fonction d'origine :
Approximation de Taylor :
Quand x0=1,05
Fonction d'origine :
Approximation de Taylor :
Quand x0=1,10
Fonction d'origine :
Approximation de Taylor :
Dans le premier cas où x0= 1, nous voyons que la fonction originale et l'approximation de Taylor nous donnent le même résultat. Ceci est dû à la composition du polynôme de Taylor que nous avons créé en utilisant les dérivées locales. Ces dérivés ont été évalués à un point précis, x0= 1, afin d'obtenir une valeur et de créer le polynôme. Donc, plus on s'éloigne de ce point particulier, x0= 1, moins l'approximation sera appropriée pour la fonction non linéaire d'origine. Dans les cas où x0= 1,05 et x0= 1,10 il y a une différence significative entre le résultat de la fonction originale et l'approximation de Taylor.
Mais… la différence est très petite, n'est-ce pas ?
Représentation polynomiale de Taylor
Si on étend les extrêmes (où l'approximation s'éloigne de x0=1):
À première vue, cela peut sembler insignifiant, mais lorsque nous travaillons sur le graphique et faisons des approximations, il est très important de prendre en compte au moins les quatre premières décimales. La base des approximations est la précision.
