La moyenne conditionnelle est la moyenne d'un ensemble de données qui change si cet ensemble de données est modifié. Il peut également être considéré comme la valeur attendue d'une distribution de probabilité plus le terme d'erreur.
En d'autres termes, la moyenne conditionnelle dépend (est conditionnée) par les données de l'échantillon. En raison de modifications de ces données, la moyenne conditionnelle changera également.
La moyenne conditionnelle ainsi que l'équation de la variance conditionnelle constituent la base du modèle autorégressif et du modèle de moyenne mobile.
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Équation de la moyenne conditionnelle
Où c est une constante qui est donnée par l'estimation des moindres carrés ordinaires (OLS) et
est le terme d'erreur dans le temps t.
Nous disons simplement que pour obtenir une prédiction de la variable X à l'instant t, nous utilisons la constante c et le terme d'erreur.
Cette constante c représente la moyenne et est obtenue par estimation OLS. Ainsi, notre prédiction sur X à l'instant t dépend de la valeur moyenne (valeur attendue) et d'une erreur d'estimation.
Bien que cette équation puisse ne pas vous sembler très familière, vous l'avez sûrement utilisée plusieurs fois en secret.
L'équation ci-dessus peut être réécrite comme :
Si on isole le terme d'erreur, on obtient :
Cela vous semble-t-il familier ?
Cette équation est la définition du terme d'erreur par excellence puisque l'erreur sera la différence entre la vraie valeur réelle de la variable X et notre estimation par MCO (valeur moyenne). La variable dépendante dans une estimation MCO est la moyenne (valeur attendue) compte tenu des observations.
Equation moyenne conditionnée autorégressive
On part de l'équation de la moyenne conditionnelle initiale :
Nous ajoutons un régresseur et une variable indépendante retardée, tels que :
Bien que cette équation puisse vous sembler encore moins familière, vous l'avez sûrement utilisée secrètement à quelques reprises.
L'équation ci-dessus peut être réécrite comme un processus autorégressif de premier ordre ou AR (1) :
Cela vous semble-t-il familier ?
Avec cette modification dans l'équation moyenne conditionnée, nous disons que la valeur future de la variable Xt dépend d'une constante c et la valeur de la même variable une période de temps avant celle en cours (t-1). Cette dépendance temporelle implique que les observations de la variable Xt ils ne sont pas indépendants les uns des autres, par conséquent, que le processus stochastique est tendance et non stationnaire.
Application
Sur les marchés financiers, il est plus fréquent d'utiliser la moyenne conditionnelle autorégressive car les prix des actifs suivent une tendance (haussière, baissière ou latérale) et ne sont donc pas entièrement aléatoires (observations indépendantes entre elles).
