Les équations fonctionnelles sont celles qui ont une autre fonction inconnue. Une fonction qui peut être liée à une opération algébrique telle que l'addition, la soustraction, la division, la multiplication, la puissance ou la racine.
Les équations fonctionnelles, aussi, peuvent être définies comme celles qui ne sont pas facilement réductibles à une fonction algébrique, du type f (x) = 0, pour leur résolution.
Les équations fonctionnelles sont caractérisées car il n'y a pas une seule façon de les résoudre. De plus, la variable en question peut prendre des valeurs différentes (nous le verrons avec des exemples).
Exemples d'équations fonctionnelles
Voici quelques exemples d'équations fonctionnelles :
f (xy) = f (x).f (y)
f (x2+ et2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Dans des cas comme les précédents, on peut ajouter, par exemple, que x appartient à l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire x ∈ R (zéro peut être exclu).
Exemples d'équations fonctionnelles
Voyons quelques exemples d'équations fonctionnelles résolues :
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Donc si je remplace x par 1/2x :
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Voyons maintenant un autre exemple avec un peu plus de difficulté, mais où nous procéderons de manière similaire :
X2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Dans ce cas, nous résolvons d'abord pour f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Maintenant, je remplace x par 5-x dans l'équation 1 :
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
On se souvient que f (5-x) est dans l'équation 2 :
(25-10x + x2). (X2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
L'équation fonctionnelle de Cauchy
La fonction fonctionnelle de Cauchy est l'une des plus élémentaires de son genre. Cette équation a la forme suivante :
f (x + y) = f (x) + f (y)
En supposant que x et y sont dans l'ensemble des nombres rationnels, la solution de cette équation nous dit que f (x) = cx, où c est une constante, et il en va de même avec f (y).
