Ensembles infinis - Qu'est-ce que c'est, définition et concept
Les ensembles infinis sont ceux qui contiennent un nombre illimité d'éléments. C'est-à-dire ceux qui s'étendent indéfiniment.
En d'autres termes, un ensemble infini est l'opposé d'un ensemble fini, qui a un nombre limité ou limité d'éléments.
Il est à noter que le fait qu'un ensemble soit infini ne signifie pas qu'il ne soit pas dénombrable. Pour comprendre ce point, regardons l'exemple de l'ensemble des entiers naturels, qui est infini, mais est dénombrable, puisqu'il est possible d'identifier l'élément 1, 2, 3, etc.
Desde otro punto de vista, un conjunto M es infinito cuando no puede emparejarse con otro conjunto (1, 2,… , n), al que denominaremos N. Este último es una sucesión de números enteros donde cada elemento es igual al anterior, más l'unité.
Plus formellement, on dit qu'il n'y a pas de correspondance bijective entre l'ensemble M et l'ensemble N, ce dernier étant fini.
De plus, il convient de noter que M et N ne sont pas équipotents. Autrement dit, pour chaque élément de M, il n'y a pas d'élément de N.
Exemples d'ensembles infinis
Voici quelques exemples d'ensembles infinis :
- La quantité de grains de sable sur une plage.
- Entiers impairs supérieurs à 13.
- Les gouttes d'eau que la mer contient.
- Les multiples de 10.
Propriétés de l'ensemble infini
Les propriétés des ensembles infinis sont les suivantes :
- L'union des ensembles A et B est un ensemble infini, tant que l'un de ces ensembles, A ou B, est infini.
- Tout ensemble qui a un ensemble infini comme sous-ensemble est également un ensemble infini.
- L'ensemble de puissance d'un ensemble infini est, à son tour, infini. En ce sens, il faut rappeler que l'ensemble puissance d'un ensemble M comprend tous les sous-ensembles pouvant être formés avec les éléments dudit ensemble, y compris l'ensemble nul ou . Par exemple, si nous avons :
(7, 13, 58)
L'ensemble de puissance serait : (∅, (7,13), (7,58), (13,58), (7), (13), (58), (7,13,58))
