La théorie des ensembles est une branche des mathématiques (et de la logique) qui se consacre à l'étude des caractéristiques des ensembles et des opérations qui peuvent être effectuées entre eux.
Autrement dit, la théorie des ensembles est un domaine d'étude axé sur les ensembles. Il est donc chargé d'analyser à la fois les attributs qu'ils possèdent et les relations qui peuvent s'établir entre eux. C'est-à-dire son union, son intersection, son complément ou autre.
Il faut se rappeler qu'un ensemble est un regroupement d'éléments, qu'il s'agisse de nombres, de lettres, de mots, de fonctions, de symboles, de figures géométriques ou autres.
Pour déterminer un ensemble, la caractéristique que ses éléments ont en commun est généralement définie. Par exemple, un ensemble A avec les nombres entiers, positifs et pairs inférieurs à 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Histoire de la théorie des ensembles
L'histoire de la théorie des ensembles remonte aux travaux de Georg Cantor, un mathématicien allemand d'origine russe, considéré comme le père de cette discipline.
Parmi les thèmes que Cantor a étudiés, par exemple, celui des ensembles infinis et des ensembles numériques se démarque.
Les premiers travaux de Cantor sur la théorie des ensembles datent de 1874. En outre, il convient de mentionner qu'il a eu de fréquents échanges d'idées avec le mathématicien Richard Dedekind, qui a contribué à l'étude des nombres naturels.
Ensembles numériques
Les ensembles numériques sont les différents groupements dans lesquels les nombres sont classés en fonction de leurs différentes caractéristiques. C'est une construction abstraite qui a une application importante en mathématiques.
Les ensembles numériques sont complexes, imaginaires, réels, irrationnels, rationnels, entiers et naturels, et peuvent être illustrés dans le diagramme de Venn suivant :
Nombres complexesNombres imaginairesNombres réelsNombres irrationnelsNombres rationnelsNombres entiersNombres naturels
Définir l'algèbre
L'algèbre des ensembles englobe les relations qui peuvent être établies entre eux.
Ainsi, les opérations suivantes se distinguent :
- Union d'ensembles : L'union de deux ou plusieurs ensembles contient chaque élément contenu dans au moins l'un d'entre eux.
- Intersection des ensembles : L'intersection de deux ou plusieurs ensembles comprend tous les éléments que ces ensembles partagent ou ont en commun.
- Définir la différence : La différence d'un ensemble par rapport à un autre est égale aux éléments du premier ensemble moins les éléments du second.
- Ensembles complémentaires: Le complément d'un ensemble comprend tous les éléments qui ne sont pas contenus dans cet ensemble (mais qui appartiennent à un autre ensemble de référence).
- Différence symétrique : La différence symétrique de deux ensembles inclut tous les éléments qui sont dans l'un ou l'autre, mais pas les deux à la fois.
- Produit cartésien: C'est une opération qui aboutit à un nouvel ensemble. Il contient comme éléments les paires ordonnées ou les tuples (séries ordonnées) des éléments qui appartiennent à deux ou plusieurs ensembles. Ce sont des paires ordonnées s'il s'agit de deux ensembles et des tuples s'ils sont plus de deux ensembles.