Model AR (1) - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

Le modèle AR (1) est un modèle autorégressif qui est construit uniquement sur un délai.

En d'autres termes, l'autorégression de premier ordre, AR (1), régresse l'autorégression sur une période de temps.

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Formule d'un AR (1)

Bien que la notation puisse varier d'un auteur à l'autre, la manière générique de représenter un AR (1) serait la suivante :

C'est-à-dire que selon le modèle AR (1), la variable y à l'instant t est égale à une constante (c), plus la variable à (t-1) multipliée par le coefficient, plus l'erreur. Il convient de noter que la constante 'c' peut être un nombre positif, négatif ou nul.

Concernant la valeur de thêta, c'est-à-dire le coefficient multiplié par y (t-1), peut prendre des valeurs différentes. Cependant, nous pouvons le résumer grossièrement en deux :

Thêta supérieur ou égal à 1

| Thêta | inférieur ou égal à 1 :

Calcul de l'espérance et de la variance du processus

Exemple pratique

On suppose que l'on veut étudier le prix des pass pour cette saison 2019 (t) à travers un modèle autorégressif d'ordre 1 (AR (1)). C'est-à-dire que nous allons remonter d'une période (t-1) dans les forfaits de variables dépendantes pour pouvoir faire l'autorégression. En d'autres termes, faisons une régression des forfaits de ski_t sur les forfaits de ski_t-1.

Le modèle serait :

Le sens de l'autorégression est que la régression se fait sur les mêmes forfaits variables mais dans une période de temps différente (t-1 et t).

Nous utilisons des logarithmes car les variables sont exprimées en unités monétaires. En particulier, nous utilisons des logarithmes naturels car leur base est le nombre e, utilisé pour capitaliser les revenus futurs.

Nous avons les tarifs des pass de 1995 à 2018 :

An	Forfaits de ski (€)	An	Forfaits de ski (€)
1995	32	2007	88
1996	44	2008	40
1997	50	2009	68
1998	55	2010	63
1999	40	2011	69
2000	32	2012	72
2001	34	2013	75
2002	60	2014	71
2003	63	2015	73
2004	64	2016	63
2005	78	2017	67
2006	80	2018	68
	2019	?

Traiter

Sur la base des données de 1995 à 2018, nous calculons les logarithmes népérien des forfaits de skipour chaque année :

An	Forfaits de ski (€)	ln_t	ln_t-1	An	Forfaits de ski (€)	ln_t	ln_t-1
1995	32	3,4657		2007	88	4,4773	4,3820
1996	44	3,7842	3,4657	2008	40	3,6889	4,4773
1997	50	3,9120	3,7842	2009	68	4,2195	3,6889
1998	55	4,0073	3,9120	2010	63	4,1431	4,2195
1999	40	3,6889	4,0073	2011	69	4,2341	4,1431
2000	32	3,4657	3,6889	2012	72	4,2767	4,2341
2001	34	3,5264	3,4657	2013	75	4,3175	4,2767
2002	60	4,0943	3,5264	2014	71	4,2627	4,3175
2003	63	4,1431	4,0943	2015	73	4,2905	4,2627
2004	64	4,1589	4,1431	2016	63	4,1431	4,2905
2005	78	4,3567	4,1589	2017	67	4,2047	4,1431
2006	80	4,3820	4,3567	2018	68	4,2195	4,2047
2019	?	?	4,2195

Donc pour faire la régression, on utilise les valeurs de ln_t comme variable dépendante et les valeurs ln_t-1 comme variable indépendante. Les valeurs hachurées sont hors de la régression.

Dans excel : = DROITEREG (ln_t; ln_t-1 ; vrai ; vrai)

Sélectionnez autant de colonnes que de régresseurs et 5 lignes, placez la formule dans la première cellule et CTRL + ENTRÉE.

On obtient les coefficients de la régression :

Dans ce cas, le signe du régresseur est positif. Donc, une augmentation de 1% du prix forfaits de ski la saison précédente (t-1), cela s'est traduit par une augmentation de 0,53 % du prix de forfaits de ski pour cette saison (t). Les valeurs entre parenthèses sous les coefficients sont les erreurs types des estimations.

Nous substituons :

forfaits de ski_t= forfaits de ski₂₀₁₉

forfaits de ski_t-1= forfaits de ski₂₀₁₈= 4.2195 (nombre en gras dans le tableau ci-dessus).

Ensuite,

An	Forfaits de ski (€)	An	Forfaits de ski (€)
1995	32	2007	88
1996	44	2008	40
1997	50	2009	68
1998	55	2010	63
1999	40	2011	69
2000	32	2012	72
2001	34	2013	75
2002	60	2014	71
2003	63	2015	73
2004	64	2016	63
2005	78	2017	67
2006	80	2018	68
	2019	65

Modèle de régression