Concave - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

Le terme concave est utilisé pour décrire une surface qui a une courbure vers l'intérieur, sa partie centrale étant la plus enfoncée ou enfoncée.

Par conséquent, on dit qu'une colline ou un obstacle comme celui que l'on voit sur les routes pour limiter la vitesse, est concave.

De même, il est possible d'analyser s'il existe des figures géométriques également concaves. Par exemple, une courbe concave est une courbe en U inversé. Une façon de se rappeler facilement à quoi ressemble une fonction concave est un visage triste.

Bien que l'usage que nous ayons fait de la concavité ait été en relation avec une courbe, la vérité est qu'elle s'applique également aux fonctions mathématiques et aux polygones, comme nous le verrons plus loin.

Comment savoir si une fonction est concave ?

Si la dérivée seconde d'une fonction est inférieure à zéro en un point, alors la fonction est concave en ce point.

Ce qui précède peut être exprimé comme suit :

f »(x) <0

Par exemple, nous avons la fonction f (x) = -x² + 2x + 5. Sa dérivée première est f '(x) = -2x +2 et sa dérivée seconde serait f »(x) = -2. Par conséquent, la fonction f (x) = x² + x + 3 est concave pour chaque valeur de x, comme on le voit dans le graphique ci-dessous, qui est une parabole :

Imaginons maintenant cette autre fonction f (x) = x³-5x² +7. Sa dérivée première f'(x) = 3x² -10x et sa dérivée seconde f »(x) = 6x -10. Une fois que l'on a calculé la dérivée seconde, il faut vérifier pour quelles valeurs de x, la fonction est convexe.

Nous définissons donc la dérivée seconde égale à 0 :

f »(x) = 6x-10 = 0

6x = 10

x = 1,67

Par conséquent, la fonction est concave lorsque x est inférieur à 1,67, puisque la dérivée seconde de l'équation est négative. Nous pouvons vérifier cela en remplaçant différentes valeurs de x. De même, la fonction est convexe lorsque x est supérieur à 1,67, comme on peut le voir sur l'image ci-dessous :

Polygone concave

Un polygone concave est un polygone où, pour joindre deux de ses points, une ligne droite doit être tracée à l'extérieur de la figure (une diagonale extérieure). De plus, au moins un de ses angles intérieurs est supérieur à 180º. C'est le cas par exemple d'un quadrilatère concave comme celui que l'on voit ci-dessous :

L'opposé d'un polygone concave est un polygone convexe. C'est celui où tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180º et, pour joindre deux points quelconques de la figure, une ligne droite peut être tracée qui reste à l'intérieur du polygone.