Le modèle Black-Scholes est une formule utilisée pour évaluer le prix d'une option financière. Cette formule est basée sur la théorie des processus stochastiques.
Le modèle Black-Scholes doit son nom aux deux mathématiciens qui l'ont développé, Fisher Black et Myron Scholes. Black-Scholes était à l'origine utilisé pour évaluer les options sans dividende. Ou ce qui revient au même, pour essayer de calculer quel devrait être le prix « juste » d'une option financière. Plus tard, le calcul a été étendu à toutes sortes d'options.
Ce modèle a reçu le prix Nobel d'économie en 1997. Il est ainsi devenu l'un des piliers fondamentaux de la théorie financière moderne. De nombreux analystes utilisent cette méthode pour évaluer le prix approprié d'une option financière.
Hypothèses du modèle Black-Scholes
Avant d'entrer dans la formule et le calcul ultérieur, il est nécessaire de faire quelques considérations sur le modèle. Quelques hypothèses de départ que le modèle prend en compte et que nous listerons ci-dessous :
- Il n'y a pas de frais de transaction ni de taxes.
- Le taux d'intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances.
- L'action ne verse pas de dividendes.
- La volatilité reste constante.
- La vente à découvert est autorisée.
- Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage sans risque.
- Supposons que la distribution de probabilité des rendements est une distribution normale.
Formule Black-Scholes
La formule de tarification des options Black-Scholes est exprimée comme suit :
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Où:
- C = Prix d'achat de l'option aujourd'hui (T = 0) en euros.
- T = durée jusqu'à l'échéance en années (3 mois = 0,25 an).
- r = taux d'intérêt sans risque. La rentabilité de la dette de l'Etat autant par un
- sigma = volatilité selon un.
- X = Prix d'exercice de l'option d'achat en euros.
- S = Cours de l'action en T = 0 en euros.
- N (d1 et d2) = Valeur de la fonction de probabilité cumulée d'une distribution normale avec une moyenne nulle et un écart type.
Exemple de calcul Black-Scholes
Supposons que nous voulions calculer la valeur d'une option d'achat, qui a 3 mois pour expirer, avec un prix d'exercice de 40 euros. Le cours de l'action est de 50 euros. La volatilité annuelle est de 30% (0,3). Et le taux d'intérêt sans risque à 3 mois est de 10 %. L'action ne verse pas de dividendes pendant les trois prochains mois.
Pourtant:
- C = Prix d'achat de l'option aujourd'hui (T = 0) en euros.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 euros.
- S = 50 euros.
On calcule d1 et d2 :
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Incidemment, pour obtenir les dernières valeurs de d1 et d2 il est nécessaire d'utiliser les tables de probabilités.
Une fois que nous avons toutes les données, nous substituons dans la formule initiale :
Ainsi, selon Black-Scholes, le prix approprié pour notre option d'achat est de 11 123 euros.
Limites du modèle Black-Scholes
Bien que le modèle Black-Scholes offre une solution brillante au problème du calcul d'un prix approprié pour une option, il présente certaines limites.
C'est un modèle, c'est-à-dire une adaptation de la réalité. Par conséquent, en tant qu'adaptation à la réalité, il ne la représente pas parfaitement. Black-Scholes calcule le prix des options qui ne peuvent être exercées ou réglées qu'à l'expiration. Cependant, les options américaines peuvent être exercées avant l'expiration. En outre, il suppose également que l'action ne verse pas de dividendes. Et que le taux sans risque et la volatilité sont constants. Ce qui n'est pas non plus le cas dans la réalité, car de nombreuses actions versent des dividendes. Enfin, la volatilité et les taux sans risque évoluent dans le temps, cette hypothèse n'est donc pas vraie non plus.
Modèle mathématique
