Le logarithme népérien, ln (x), est l'inverse de la fonction exponentielle et défini en x uniquement pour les nombres réels positifs.
Intuitivement, ce que le logarithme népérien est censé résoudre est l'équation suivante :
etOui= x
Où 'y' serait le résultat que nous recherchons. C'est-à-dire que si x vaut 20, combien « y » doit valoir en l'élevant à « e » pour que l'équation soit remplie. Par exemple, le résultat de ln (20)
etOui= 20 y = 3
Tenant compte du fait que le nombre 'e' vaut 2,7182818… on vérifie que si on le porte à 3, le résultat est bien 20,07. Il en est ainsi, car le logarithme népérien de 20 est en fait de 2,99. Mais dans cet exemple, nous avons utilisé 3 pour le rendre plus facile.
Domaine du logarithme népérien
Mathématiquement, le domaine du logarithme népérien est :
(x ∈ ℜ : x> 0)
Autrement dit, x doit être un nombre réel supérieur à zéro. Sinon, la fonction n'existe pas. La façon de le vérifier est franchement simple. Nous n'avons qu'à le vérifier avec un nombre égal ou inférieur à zéro. Par exemple:
etOui= 0 ⇒ y = Il n'y a pas de résultat
Il n'y a pas de nombre 'y' qui, lorsqu'il est élevé à 'e', donne zéro. Nous pouvons nous rapprocher de zéro, mais le résultat ne sera jamais nul.
De manière plus précise, nous pouvons étendre la définition au-delà des réels positifs aux nombres complexes. Pour tout réel x négatif, nous définirions, où effectivement je correspond à la racine carrée de (-1). Cependant, il s'agit d'une note plus avancée et il n'est pas objectif de mettre des détails sur les nombres complexes dans cette explication.
Représentation graphique du logarithme népérien
La représentation graphique de cette fonction est :
En rappelant que la fonction que nous représentons est etOui= x, nous voyons que lorsque la valeur de 'y' change, celle de 'x' change également. Vérifions que le graphique est fidèle à l'équation. Nous pouvons voir que lorsque 'y' est égal à zéro, alors 'x' est égal à 1. En appliquant l'équation :
etOui= 0 e0=1
En effet, en mathématiques, nous savons que tout nombre élevé à 0 donne 1.
Application en finance et économie
En finance, seuls les réels positifs sont pris en compte car ils sont normalement utilisés pour calculer en continu les rendements des prix cotés des actifs financiers. Les prix sont généralement positifs, ils respectent donc la restriction (x> 0), où x est le prix dans ce cas.
L'utilisation la plus fréquente en économie est dans les analyses économétriques, où les régressions simples et/ou multiples intègrent des logarithmes dans les équations afin d'assurer la stabilité des régresseurs, de réduire les observations atypiques et d'établir différentes vues de l'estimation, entre autres applications. .
En définitive, la raison pour laquelle les logarithmes naturels sont utilisés en économétrie est de faciliter les opérations à effectuer. Les logarithmes ont certaines propriétés qui permettent d'effectuer des opérations mathématiques complexes relativement rapidement et facilement.
