La règle de Laplace est une méthode qui vous permet de calculer rapidement le déterminant d'une matrice carrée de dimension 3 × 3 ou plus au moyen d'une série d'expansion récursive.
En d'autres termes, la règle de Laplace factorise la matrice initiale en matrices de dimension inférieure et ajuste son signe en fonction de la position de l'élément dans la matrice.
Cette méthode peut être exécutée en utilisant des lignes ou des colonnes.
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La formule de la règle de Laplace
Étant donné une matrice Zmxn n'importe quelle dimension mxn,où m = n, il se développe par rapport à la i-ième ligne, alors :
- réjeest le déterminant obtenu en éliminant la i-ème ligne et la i-ème colonne de Zmxn.
- Mjeest le i, j-ème moins. Le déterminant réjeen fonction de Mjeest appelé le i, j-th cofacteurde la matrice Zmxn.
- à est le paramètre de signe de la position.
Exemple théorique de la règle de Laplace
Nous définissons À3×3 Quoi:
- Commençons par le premier élément a11. Nous râpons les lignes et les colonnes qui composent11. Les éléments qui restent sans grille, seront le premier déterminant moins multiplié par un11.
2. Nous continuons avec le deuxième élément de la première ligne, c'est-à-dire pour12. Nous répétons le processus : nous râpons les lignes et les colonnes qui contiennent12.
On ajuste le signe du mineur :
On ajoute le deuxième déterminant moinsau résultat précédent et on forme une série d'expansion telle que :
3. Nous continuons avec le troisième élément de la première ligne, c'est-à-dire pour13. Nous répétons le processus : nous râpons la ligne et la colonne qui contiennent13.
On ajoute le troisième déterminant moins au résultat précédent et on étend la série d'expansion de telle sorte que :
Puisqu'il ne reste plus d'éléments dans la première ligne, nous fermons le processus récursif. On calcule les déterminants mineurs.
De la même manière que les éléments de la première ligne ont été utilisés, cette méthode peut également être appliquée avec des colonnes.
Exemple pratique de la règle de Laplace
Nous définissons À3×3Quoi:
1. Commençons par le premier élément r11= 5. Nous râpons les lignes et les colonnes qui composent11= 5. Les éléments qui restent sans grille, seront le premier déterminant moins multiplié par un11=5.
2. Nous continuons avec le deuxième élément de la première ligne, c'est-à-dire r12= 2. On répète le processus : on râpe les lignes et les colonnes qui contiennent r12=2.
On ajuste le signe du mineur :
On ajoute le deuxième déterminant moins au résultat précédent et on forme une série d'expansion telle que :
3. Nous continuons avec le troisième élément de la première ligne, c'est-à-dire r13= 3. On répète le processus : on râpe la ligne et la colonne qui contiennent r13=3.
On ajoute le troisième déterminant moins au résultat précédent et on étend la série d'expansion de telle sorte que :
Le déterminant de la matriceR3×3 a 15 ans.
