Un estimateur cohérent est un estimateur dont l'erreur de mesure ou le biais approche de zéro lorsque la taille de l'échantillon approche l'infini.
De la définition d'un estimateur sans biais, nous pouvons conclure que nous avons parfois des erreurs d'estimation. Maintenant, il existe des cas dans lesquels lorsque l'échantillon augmente, l'erreur diminue.
Parfois, en raison des caractéristiques de l'estimateur utilisé, à mesure que la taille de l'échantillon augmente, l'erreur augmente également. Il ne serait pas souhaitable d'utiliser cet estimateur. Or, a priori, on ne sait pas où tend le biais. S'il tend vers zéro, il tend vers une certaine valeur ou vers l'infini à mesure que la taille de l'échantillon augmente.
Cela dit, il est nécessaire de définir la notion de cohérence. Pour eux, il faut dire qu'il y a deux types de cohérence. D'une part, il y a la cohérence simple. Alors que, d'autre part, la cohérence se trouve dans le carré moyen.
Pour le dire en quelque sorte, ce sont deux outils mathématiques qui nous permettent de calculer vers quel(s) nombre(s) converge notre estimateur.
Estimation ponctuelleCohérence simple
Un estimateur remplit la propriété de cohérence simple si l'équation suivante est remplie :
De gauche à droite, l'équation se lit comme suit : La limite, lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini, de la probabilité que la différence absolue entre la valeur de l'estimateur et la valeur du paramètre soit supérieure à l'erreur, soit égale à zéro .
Il est entendu que la valeur de l'erreur notée par epsilon, doit être supérieure à zéro.
Intuitivement, la formule indique que lorsque la taille de l'échantillon devient très grande, la probabilité d'une erreur supérieure à zéro est nulle. A l'inverse, la probabilité qu'il n'y ait pas d'erreur lorsque la taille de l'échantillon est très grande est, en termes de probabilités, pratiquement de 100 %.
Estimateur consistant en une moyenne quadratique
Un autre outil qui peut être utilisé pour vérifier qu'un estimateur est cohérent est l'erreur quadratique moyenne. Cet outil mathématique est encore plus puissant que le précédent. La raison en est que l'exigence de cette condition est plus grande.
Dans la section précédente, l'exigence était que, de manière probabiliste, la possibilité de faire une erreur soit nulle ou très proche de zéro.
Or, ce que nous demandons est défini par l'égalité mathématique suivante :
C'est-à-dire que lorsque la taille de l'échantillon est grande, l'espérance mathématique des erreurs quadratiques est de zéro. La seule option pour que cette valeur soit zéro est que l'erreur soit toujours zéro. Parce que? Comme l'erreur d'estimation est portée à deux (Estimateur - Valeur vraie du paramètre), le résultat sera toujours positif. À moins que, c'est-à-dire que l'erreur soit nulle. Zéro élevé à deux est zéro.
Bien entendu, si la limite renvoie 0,0001, nous pouvons supposer qu'elle est égale à zéro. Il est presque impossible que la carte d'erreur quadratique moyenne atteigne zéro.
Statistiquement parlant, nous dirons qu'un estimateur est cohérent dans la moyenne quadratique, dans le cas où l'espérance de l'erreur quadratique de l'estimateur prenant en compte différents échantillons est nulle ou très proche de celle-ci.
