Une distribution binomiale est une distribution de probabilité discrète qui décrit le nombre de succès lors de la conduite de n expériences indépendantes sur une variable aléatoire..
Il existe une grande diversité d'expériences ou d'événements qui peuvent être caractérisés sous cette distribution de probabilité. Imaginez un tirage au sort dans lequel nous définissons l'événement « coups de tête » comme un succès. Si nous lançons la pièce 5 fois et comptons les coups (faces) que nous obtenons, notre distribution de probabilité correspondrait à une distribution binomiale.
Par conséquent, la distribution binomiale est comprise comme une série de tests ou d'essais dans lesquels nous ne pouvons avoir que 2 résultats (succès ou échec), le succès étant notre variable aléatoire.
Propriétés de la distribution binomiale
Pour qu'une variable aléatoire soit considérée comme suivant une loi binomiale, elle doit répondre aux propriétés suivantes :
- Dans chaque essai, expérience ou test, seuls deux résultats (succès ou échec) sont possibles.
- La probabilité de réussite doit être constante. Ceci est représenté par la lettre p. La probabilité d'une pile face à face est de 0,5 et elle est constante car la pièce ne change pas à chaque expérience et les probabilités d'une face sont constantes.
- La probabilité de défaillance doit également être constante. Ceci est représenté par la lettre q = 1-p. Il est important de noter qu'au moyen de cette équation, connaissant p ou connaissant q, on peut obtenir celle qui nous manque.
- Le résultat obtenu dans chaque expérience est indépendant de la précédente. Par conséquent, ce qui se passe dans chaque expérience n'affecte pas les suivantes.
- Les événements sont mutuellement exclusifs, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire tous les deux en même temps. Il n'est pas possible d'être un homme et une femme en même temps ou qu'au lancer d'une pièce de monnaie, elle sorte pile et face en même temps.
- Les événements sont collectivement exhaustifs, c'est-à-dire qu'au moins un des 2 doit se produire. Si vous n'êtes pas un homme, vous êtes une femme et, si vous lancez une pièce, si elle ne revient pas face, ce doit être pile.
- La variable aléatoire qui suit une distribution binomiale est généralement représentée par X ~ (n, p), où n représente le nombre d'essais ou d'expériences et p la probabilité de succès.
Formule de la distribution binomiale
La formule pour calculer la distribution normale est :
Où:
n = Nombre d'essais / expériences
x = nombre de succès
p = Probabilité de réussite
q = Probabilité de défaillance (1-p)
Il est important de noter que l'expression entre crochets n'est pas une expression matricielle, mais est le résultat d'une combinatoire sans répétition. Ceci est obtenu avec la formule suivante :
Le point d'exclamation dans l'expression précédente représente le symbole factoriel.
Exemple de distribution binomiale
Imaginons que 80% des personnes dans le monde ont vu le dernier match de la dernière Coupe du monde de football. Après l'événement, 4 amis se rencontrent pour discuter Quelle est la probabilité que 3 d'entre eux aient vu le jeu ?
Définissons les variables de l'expérience :
n = 4 (est l'échantillon total que nous avons)
x = nombre de succès, qui dans ce cas est égal à 3, puisque nous recherchons la probabilité que 3 des 4 amis l'aient vu.
p = probabilité de succès (0,8)
q = probabilité de défaillance (0,2). Ce résultat est obtenu en soustrayant 1-p.
Après avoir défini toutes nos variables, nous substituons simplement dans la formule.
Le numérateur de la factorielle serait obtenu en multipliant 4 * 3 * 2 * 1 = 24 et au dénominateur nous aurions 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Par conséquent, le résultat de la factorielle serait 24/6 = 4 .
En dehors de la parenthèse, nous avons deux nombres. Le premier serait 0,8 3 = 0,512 et le second 0,2 (puisque 4-3 = 1 et tout nombre élevé à 1 est le même).
Par conséquent, notre résultat final serait : 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Si nous multiplions par 100, nous avons 40,96 % de probabilité que 3 des 4 amis aient vu la finale de la Coupe du Monde.
