Le point d'inflexion d'une fonction mathématique est le point auquel le graphique qui la représente change de concavité. C'est-à-dire qu'il passe d'être concave à convexe, ou vice versa.
Le point d'inflexion, en d'autres termes, est ce moment où la fonction change de tendance.
Pour se faire une idée, commençons par le regarder dans une représentation graphique, grosso modo :
Il convient de noter qu'une fonction peut avoir plus d'un point d'inflexion, voire pas du tout. Par exemple, une ligne n'a pas de point d'inflexion.
Voyons, dans le graphique suivant, un exemple de fonction avec plus d'un point d'inflexion :
De plus, en termes mathématiques, le point d'inflexion est calculé en fixant la dérivée seconde de la fonction égale à zéro. Ainsi, nous résolvons la racine (ou les racines) de cette équation et nous l'appellerons Xi.
Ensuite, nous remplaçons Xi dans la dérivée troisième de la fonction. Si le résultat est différent de zéro, nous sommes face à un point d'inflexion.
Cependant, si le résultat est nul, il faut replacer dans les dérivées successives, jusqu'à ce que la valeur de cette dérivée, que ce soit la troisième, la quatrième ou la cinquième, soit différente de 0. Si la dérivée est impaire, c'est un point d'inflexion, mais si c'est même non.
Exemple de tournant
Ensuite, regardons un exemple.
Supposons que nous ayons la fonction suivante :
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y '= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Ensuite, nous remplaçons Xi dans la dérivée troisième :
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Comme le résultat est différent de zéro, on se retrouve devant un point d'inflexion qui serait lorsque x est égal à -1,25 et y est égal à -2,1328, comme le montre le graphique suivant.
En cela, on observe que la fonction a un point d'inflexion :
Maintenant, regardons un autre exemple :
y = x4-54x2
y '= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
X2=9
Xi = 3 et -3
Ensuite, nous remplaçons les deux racines trouvées dans la dérivée troisième :
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Comme le résultat n'est pas nul, nous avons deux points d'inflexion à (3 567) et (-3 567).
Pour compléter l'information, nous vous invitons à visiter l'article d'inflexion, où nous abordons ce concept de manière plus générale :
Définition de l'inflexion