La distribution de Bernoulli est un modèle théorique utilisé pour représenter une variable aléatoire discrète qui ne peut aboutir qu'à deux résultats mutuellement exclusifs.
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exemple Bernoulli
Nous partons du principe que nous sommes très fans d'un coureur dans une compétition cycliste dans laquelle seuls deux coureurs s'affrontent. Nous voulons parier que le courtier gagne.
Donc, si vous gagnez, ce sera un résultat « succès » et si vous perdez, ce sera un résultat « pas de succès ». Schématiquement :
Nous avons traité cet exemple comme un cas dichotomique. Autrement dit, il n'y a que deux résultats possibles (pour simplifier la situation). Dans les livres théoriques on trouve l'exemple typique du tirage au sort à pile ou face qui consiste à obtenir pile ou face. Puisqu'il n'y a plus de résultats possibles, l'obtention du paramètre p devient élémentaire.
Dans notre exemple de courtier, nous aurions également pu considérer « sans succès » comme l'obtention d'une position autre que la première place. Ensuite, le paramètre p changerait et ce serait le nombre de fois où le courtier peut d'abord être divisé par le nombre de positions totales. Schématiquement :
Ici le paramètre p ne semble pas très évident au premier abord, mais il ne s'agit que d'appliquer la loi de Laplace.
Nous supposons qu'il n'y a que 10 positions dans lesquelles le coureur ne peut en obtenir qu'une dans la course. Ensuite,
Exercer
Calculez la fonction de répartition des coureurs dans une compétition à 10 coureurs.
Fonction de distribution de Bernoulli
- Approcher.
On définit les deux valeurs que peut prendre une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli.
Z = 1 si le coureur remporte la compétition = 1ère place = SUCCÈS.
Z = 0 si le coureur perd la compétition = pas la 1ère place = PAS RÉUSSI.
- Affectation et calcul des probabilités.
Une fois que nous avons défini les valeurs Z, nous affectons les probabilités du résultat de l'expérience :
Ci-dessus dans l'exemple, nous avons déjà calculé les probabilités en utilisant la loi de Laplace. Le résultat était que p = 1/10 et (1-p) = 0,9.
- Calcul de la fonction de distribution.
Il ne nous reste plus qu'à substituer les variables précédentes dans la formule de la fonction de distribution.
Nous pouvons voir que les expressions précédentes peuvent également être exprimées de cette manière :
On voit que dans un sens ou dans l'autre, la probabilité de réussite, c'est-à-dire la probabilité que le coureur gagne la compétition sera toujours p = 1/10 et la probabilité de non-réussite, c'est-à-dire la probabilité qu'il perde. la compétition sera aussi toujours (1-p) = 9/10.
Ainsi, le coureur suit une loi de Bernoulli avec probabilité p = 0,1 :
