Le SA mesure la mesure de dispersion d'ordre 3 des observations qui sont inférieures à la valeur attendue de la variable. Le SC est la mesure de la dispersion d'ordre 4 des observations qui sont inférieures à la valeur attendue de la variable.
En d'autres termes, tant le SA que le SC recherchent les pires cas (situations où les observations sont inférieures à la moyenne) et nous pouvons construire des indicateurs de risque, à partir de l'anglais, indicateurs de risque de baisse.
Si nous appliquons SA et SC aux cours des actions, les rendements inférieurs à la valeur attendue sont considérés comme négatifs et les rendements supérieurs à la valeur attendue sont considérés comme positifs pour notre investissement. Nous sommes plus intéressés par le contrôle des rendements négatifs car ils nuisent à nos bénéfices.
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Mathématiquement, nous définissons la variable Z comme une variable aléatoire discrète formée par Z1, …, ZN constats. Où E (Z) est la valeur attendue (valeur moyenne) de la variable Z.
Semi-asymétrie (SA)
Le SA identifie l'asymétrie des observations qui sont inférieures à la valeur moyenne.
Nous pouvons définir SA de deux manières différentes :
- Fonction MAX :
- Fonction MIN :
Nous pouvons calculer SA en utilisant les données historiques comme suit :
Semi-Kurtosis (SC)
Le SC identifie la variance de la variable Z qui provient des valeurs extrêmes inférieures à la valeur moyenne.
On peut définir le SC de deux manières différentes :
- Fonction MAX :
- Fonction MIN :
Nous pouvons calculer SD en utilisant les données historiques comme suit :
Normalement, tous les termes de la formule sont exprimés en termes annuels. Si les données sont exprimées en d'autres termes, nous devrons annualiser les résultats.
Interprétation
On définit D comme :
- MIN : on cherche le minimum entre D et 0.
Si D <0 alors le résultat est D4.
Si D> 0 alors le résultat est 0.
- MAX : on cherche le maximum entre D et 0.
Si D> 0 alors le résultat est D4.
- Si D <0 alors le résultat est 0.
Exemple de semi-asymétrie et semi-aplatissement
On suppose que l'on veut réaliser une étude sur le degré de dispersion du prix de Ski Alpin pendant 18 mois (un an et demi). Plus précisément, nous voulons trouver l'étalement des observations qui sont en dessous de leur valeur moyenne.
| min (Zt -Z’, 0) |3
Traiter
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| Mois | Retour | | min (Zt -Z’, 0) |3 | | min (Zt -Z’, 0) |4 |
| 17 janvier | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Fév-17 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| mars-17 | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Avr-17 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| 17 mai | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| juin-17 | -6,00% | 0,0787% | 0,00727% |
| juil-17 | -2,00% | 0,0143% | 0,00075% |
| 17 août | -9,00% | 0,1831% | 0,02240% |
| 17 sept. | 0,20% | 0,0028% | 0,00008% |
| 17 octobre | 1,50% | 0,00% | 0,00% |
| 17 novembre | 2,00% | 0,00% | 0,00% |
| Déc-17 | 6,00% | 0,00% | 0,00% |
| jan-18 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| Fév-18 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| mars-18 | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Avr-18 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| 18 mai | -1,50% | 0,0106% | 0,00050% |
| juin-18 | -6,00% | 0,0787% | 0,00727% |
| Moitié | 3,23% | 3,23% | |
| Addition | 0,37% | 0,03828% | |
| SA12 | 0,13498 | - | |
| CS 12 | - | 0,12639 |
1. On calcule :
Résultat
La semi-asymétrie annualisée (SA) est de 0,134. En d'autres termes, l'asymétrie des observations inférieures à la valeur moyenne est de 0,134.
Le Semi-Kurtosis (SC) annualisé est de 0,126. En d'autres termes, la variance de la variable Z qui provient des valeurs extrêmes inférieures à la valeur moyenne est de 0,126.