La multiplication matricielle consiste à combiner linéairement deux ou plusieurs matrices en ajoutant leurs éléments en fonction de leur emplacement dans la matrice d'origine, en respectant l'ordre des facteurs.
En d'autres termes, la multiplication de deux matrices consiste à unifier les matrices en une seule matrice en multipliant et en additionnant les éléments des lignes et des colonnes des matrices sources, en tenant compte de l'ordre des facteurs.
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Multiplication matricielle
Étant donné deux matrices Z Oui Oui de n lignes et m colonnes :
Propriétés
- La dimension de la matrice de résultat est la combinaison de la dimension des matrices. Autrement dit, la dimension de la matrice résultat sera les colonnes de la première matrice et les lignes de la deuxième matrice.
Dans ce cas, nous trouverons que Zm (lignes de Z) est égal à Ouim(colonnes de Y) pour pouvoir les multiplier. Donc, s'ils sont égaux, la matrice résultat sera :
Exemples
- Nous allons multiplier les matrices deux par deux.
Nous multiplions les matrices deux par deux pour conserver les dimensions des matrices d'origine et faciliter le processus.
- La multiplication matricielle est non commutative.
Régime de propriété commutative
La propriété commutative représente cette expression bien connue : l'ordre des facteurs ne modifie pas le résultat.
Nous trouvons cette propriété dans l'addition et la multiplication ordinaires, c'est-à-dire lorsque nous ajoutons et multiplions tout objet qui n'est pas une matrice.
Compte tenu du schéma ci-dessus, la propriété commutative nous dit que si nous multiplions d'abord le soleil bleu puis le soleil jaune, nous obtiendrons le même résultat (soleil vert) que si nous multiplions d'abord le soleil jaune puis le soleil bleu.
Ainsi, si la multiplication des matrices ne respecte pas la propriété commutative, cela implique que l'ordre des facteurs Oui affecte le résultat. En d'autres termes, nous n'obtiendrons pas le soleil vert si nous changeons l'ordre des soleils jaune et bleu.
Traiter
On peut multiplier les matrices précédentes si le nombre de lignes de la matrice Z est égal au nombre de colonnes de la matrice Oui. C'est-à-dire, Zm = Ouim.
Une fois qu'il est déterminé que nous pouvons multiplier les matrices, nous multiplions les éléments de chaque ligne par chaque colonne et les additionnons de telle manière qu'il ne reste qu'un seul nombre au point où les ovales bleus précédents coïncident.
Nous trouvons d'abord où les ovales bleus coïncident, puis nous faisons la somme des multiplications des éléments.
- Pour le premier élément de la matrice résultat, nous voyons que les ovales coïncident où l'élément z est11.
- Pour le dernier élément de la matrice résultat, on voit que les ovales coïncident dans l'élément etnm.
Exemple théorique
Étant donné deux matrices carrées ré Oui ET,
Multipliez les matrices précédentes.
On commence par multiplier la première ligne de la matrice ré avec la première colonne de la matrice ET. Ensuite on fait de même mais en gardant la ligne ou la colonne de chaque matrice selon que l'on veut multiplier certains éléments ou d'autres. Nous répétons la procédure jusqu'à ce que nous ayons rempli toutes les lacunes.
Exercer
Montrer que la propriété commutative n'est pas remplie dans le produit de matrices.
