Le logarithme est une fonction monotone strictement concave (croissante) comprise dans l'ensemble des nombres réels positifs et est l'inverse de la fonction exponentielle.
En d'autres termes, le logarithme est une fonction qui dépend d'une base et d'un argument qui croît à un taux de croissance décroissant.
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Formule logarithmique
L'expression logarithmique est composée d'une base et d'un argument.
Dans ce cas, le base est x et le argument est z dont on obtiendra le logarithme.
Mais… Des éléments de l'équation précédente, quel est le logarithme ?
La plupart du temps, nous avons tendance à penser que le logarithme de l'expression précédente est simplement logX, Mais ce n'est pas vrai. La bonne réponse est logXz puisque nous avons également besoin de la variable z pour pouvoir calculer le logarithme.
Domaine
Étant donné une variable numérique z comprise dans l'ensemble des nombres réels, elle est soumise à la restriction de n'adopter que des réels positifs.
En d'autres termes, les arguments logarithmiques ne prendront que des nombres réels strictement (>) supérieurs à zéro (0).
Étant donné un nombre x compris dans l'ensemble des nombres réels, il est soumis à la restriction de n'adopter que des réels positifs supérieurs à 1.
Autrement dit, les bases des logarithmes ne prendront que des nombres réels strictement (>) supérieurs à un (1).
Les bases les plus utilisées sont 2, 10 et e.
Le logarithme en base 10 s'appelle logarithme décimal ou commun.
Le logarithme en base 2 est appelé logarithme binaire.
Si la base du logarithme est le nombre e, alors le logarithme est appelé logarithme naturel ou naturel.
Représentation
De quoi avons-nous besoin pour calculer le logarithme d'un nombre ?
Pour calculer le logarithme, nous avons besoin de deux nombres qui appartiennent à l'ensemble des réels positifs et que l'un d'eux est différent de un (1). Un nombre servira d'argument et l'autre de base, respectivement.
Résultat
Bien qu'il existe des restrictions sur les nombres pouvant être utilisés pour la base et l'argument, le codomaine de la fonction logarithmique est constitué de nombres réels. En d'autres termes, on peut obtenir des logarithmes négatifs, neutres (0) ou positifs puisqu'ils peuvent prendre n'importe quelle valeur de la droite réelle :
Il est important de ne pas confondre le domaine de l'argument avec le domaine du résultat (codomaine).
Exemples
Application
En finance, les logarithmes sont utilisés pour obtenir les rendements continus d'un actif ou d'un produit financier.
En économie, tant en microéconomie qu'en macroéconomie, ils sont utilisés pour exprimer l'aversion au risque des agents économiques dans les fonctions d'utilité. Ils sont également utilisés pour effectuer des transformations monotones de fonctions d'utilité.
En économétrie, l'échelle des variables est transformée pour faciliter leur interprétation.