La loi des grands nombres est un théorème fondamental de la théorie des probabilités qui indique que si nous répétons plusieurs fois (en tendant vers l'infini) la même expérience, la fréquence d'un certain événement a tendance à être constante.
C'est-à-dire que la loi des grands nombres indique que si le même test est effectué à plusieurs reprises (par exemple, lancer une pièce de monnaie, lancer une roulette, etc.), la fréquence à laquelle un certain événement se répétera (qui vient têtes levées ou phoque, le chiffre 3 sort noir, etc) s'approchera d'une constante. Ce sera à son tour la probabilité que cet événement se produise.
Origine de la loi des grands nombres
La loi des grands nombres a été mentionnée pour la première fois par le mathématicien Gerolamo Cardamo, bien que sans aucune preuve rigoureuse. Plus tard, Jacob Bernoulli réussit à faire une démonstration complète dans son ouvrage "Ars Conjectandi" en 1713. Dans les années 1830 le mathématicien Siméon Denis Poisson décrivit en détail la loi des grands nombres, qui vint parfaire la théorie. D'autres auteurs apporteront également des contributions ultérieures.
Exemple de la loi des grands nombres
Supposons l'expérience suivante : lancez un dé commun. Considérons maintenant l'événement où nous obtenons le nombre 1. Comme nous le savons, la probabilité que le nombre 1 apparaisse est de 1/6 (le dé a 6 faces, l'une d'elles est une).
Que nous dit la loi des grands nombres ? Il nous dit qu'au fur et à mesure que nous augmentons le nombre de répétitions de notre expérience (nous faisons plus de lancers de dé), la fréquence à laquelle l'événement sera répété (nous obtenons 1) se rapprochera d'une constante, qui aura une valeur égale valeur à sa probabilité (1/6 ou 16,66%).
Peut-être que dans les 10 ou 20 premiers lancements, la fréquence à laquelle nous obtenons 1 ne sera pas 16%, mais un autre pourcentage comme 5% ou 30%. Mais comme nous faisons de plus en plus de pitchs (disons 10 000), la fréquence d'apparition du 1 sera très proche de 16,66%.
Dans le graphique suivant, nous voyons un exemple d'une expérience réelle où un dé est lancé à plusieurs reprises. Ici, nous pouvons voir comment la fréquence relative de tirage d'un certain nombre change.
Comme l'indique la loi des grands nombres, dans les premiers lancements, la fréquence est instable, mais à mesure que l'on augmente le nombre de lancements, la fréquence tend à se stabiliser à un certain nombre, qui est la probabilité que l'événement se produise (dans ce cas les nombres de 1 à 6 puisqu'il s'agit d'un lancer de dé).
Mauvaise interprétation de la loi des grands nombres
Beaucoup de gens interprètent mal la loi des grands nombres en croyant qu'un événement aura tendance à l'emporter sur un autre. Ainsi, par exemple, ils pensent que puisque la probabilité que le chiffre 1 tombe sur un dé doit être proche de 1/6, lorsque le chiffre 1 n'apparaît pas sur les 2 ou 5 premiers lancers, il est fort probable que dans le suivant. Ce n'est pas vrai, puisque la loi des grands nombres ne s'applique que pour de nombreuses répétitions, nous pouvons donc passer toute la journée à lancer un dé et ne pas atteindre la fréquence 1/6.
Le lancer d'un dé est un événement indépendant et, par conséquent, lorsqu'un certain nombre apparaît, ce résultat n'affecte pas le prochain lancer. Ce n'est qu'après des milliers de répétitions que nous pourrons vérifier que la loi des grands nombres existe et que la fréquence relative d'obtention d'un nombre (dans notre exemple 1) sera de 1/6.
La mauvaise interprétation de la théorie peut conduire les gens (en particulier les joueurs) à perdre de l'argent et du temps.
théorème de BayesProbabilité de fréquenceThéorème central limite
