La décomposition de Cholesky est un type particulier de décomposition matricielle LU, de l'anglais Lower-Upper, qui consiste à factoriser une matrice dans le produit de deux ou plusieurs matrices.
Autrement dit, la décomposition de Cholesky consiste à assimiler une matrice contenant le même nombre de lignes et de colonnes (matrice carrée) à une matrice avec des zéros au-dessus de la diagonale principale multipliée par sa matrice transposée avec des zéros en dessous de la diagonale principale.
La décomposition LU, contrairement à Cholesky, peut être appliquée à différents types de matrices carrées.
Caractéristiques de décomposition de Cholesky
La décomposition de Cholesky consiste en :
- Une matrice carrée triangulaire supérieure : Matrice carrée qui n'a que des zéros sous la diagonale principale.
- Une matrice carrée triangulaire inférieure : Une matrice qui n'a que des zéros au-dessus de la diagonale principale.
Mathématiquement, si une matrice symétrique définie positive existe, ET, alors il existe une matrice symétrique triangulaire inférieure, K, de même dimension que ET, résultant en:
La matrice ci-dessus apparaît comme la matrice de Cholesky de E. Cette matrice agit comme la racine carrée de la matrice E. Nous savons que le domaine de la racine carrée est :
(X ℜ : x 0)
Qui est défini dans tous les nombres réels non négatifs. De la même manière que la racine carrée, la matrice de Cholesky n'existera que si la matrice est définie semi-positive. Une matrice est définie semi-positive lorsque les mineurs majeurs ont un déterminant positif ou nul.
La décomposition de Cholesky de ET est une matrice diagonale telle que :
Nous pouvons voir que les matrices sont carrées et contiennent les caractéristiques mentionnées; triangle de zéros au-dessus de la diagonale principale dans la première matrice et triangle de zéros en dessous de la diagonale principale dans la matrice transformée.
Applications de décomposition de Cholesky
En finance il est utilisé pour transformer les réalisations de variables normales indépendantes en variables normales corrélées selon une matrice de corrélation ET.
Si N est un vecteur de normales indépendantes (0,1), il s'ensuit que est un vecteur de normales (0,1) corrélées selon ET.
Exemple de décomposition de Cholesky
C'est l'exemple le plus simple que l'on puisse trouver de décomposition de Cholesky puisque les matrices doivent être carrées, dans ce cas, la matrice est (2 × 2). Deux rangées sur deux colonnes. De plus, il répond aux caractéristiques d'avoir des zéros au-dessus et au-dessous de la diagonale principale. Cette matrice est définie semi-positive car les mineurs majeurs ont un déterminant positif. Nous définissons:
Résoudre pour : c2 = 4; b · c = -2; à2+ b2 = 5; nous avons quatre matrices de Cholesky possibles :
Enfin, nous calculons pour trouver (a, b, c). Une fois que nous les aurons trouvés, nous aurons les matrices de Cholesky. Le calcul est le suivant :
