Les ensembles finis sont ceux dont la cardinalité, ou le nombre d'éléments qu'il contient, est égal à un nombre naturel.
Un ensemble fini, en d'autres termes, est un ensemble qui a un certain nombre d'éléments qui peuvent être comptés. Être le contraire d'un ensemble infini, où les éléments sont innombrables.
Une façon plus formelle d'exprimer qu'un ensemble est fini est que les éléments de cet ensemble, que nous appellerons M, peuvent être appariés avec les éléments de l'ensemble (1, 2,…, n), que nous appellerons N. Il s'agit d'une séquence d'entiers où chaque élément est égal au précédent, plus l'unité.
Ainsi, les éléments de M et N peuvent être appariés un par un (ce qui est connu sous le nom de correspondance un-à-un), sans omettre aucun élément des deux ensembles.
On dit aussi que M et N sont équipotents, c'est-à-dire que pour chaque élément de M il y a un élément de N.
De plus, le nombre n (le plus grand élément de l'ensemble N) coïncide avec le nombre d'éléments de M, où n est le cardinal, le cardinal ou la puissance de N, et sa notation est card (N), | N | ou #N.
Exemples d'ensembles finis
Voici quelques exemples d'ensembles finis :
- Entiers impairs supérieurs à 13 et inférieurs à 29 : (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Les océans de la Terre : Atlantique, Pacifique, Indien, Arctique, Antarctique
- La liste des vingt élèves qui appartiennent à une classe.
Propriétés des ensembles finis
Parmi les principales propriétés des ensembles finis, figurent celles qui sont exposées ci-dessous :
- L'union de deux ou plusieurs ensembles finis donne un ensemble fini.
- L'intersection (les éléments en commun) d'un ensemble fini avec un ou plusieurs ensembles est finie.
- Le sous-ensemble d'un ensemble fini est également fini.
- Le sous-ensemble C d'un ensemble fini M est caractérisé par un nombre d'éléments inférieur à M. C'est-à-dire qu'il est vrai que : Si C M et |M | = n, alors |C | <n (Le symbole ⊊ signifie que C est un sous-ensemble propre de M. C'est-à-dire que tous les éléments de C sont contenus dans M, mais il y a au moins un élément de M qui n'est pas dans C).
- L'ensemble puissance d'un ensemble fini M, qui comprend tous les sous-ensembles qui peuvent être formés avec les éléments de l'ensemble M (y compris l'ensemble vide ou ), est fini et a 2m éléments, où n est le nombre d'éléments dans M. Par exemple, si nous avons :
(1, 3, 41)
L'ensemble de puissance serait : (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Comme nous pouvons le voir, l'ensemble de puissance d'un ensemble fini de trois éléments a huit (23) éléments.