Une distribution conjointe est la distribution de probabilité de l'intersection des réalisations de deux ou plusieurs variables aléatoires.
En d'autres termes, une distribution conjointe est la distribution de probabilité que forment deux ou plusieurs variables aléatoires lorsque leurs réalisations se produisent simultanément.
Représentation de la distribution conjointe
Lorsque seulement deux variables aléatoires sont impliquées, on parle de distribution bivariée car il y a deux variables aléatoires. Dans le cas d'avoir plus de variables, cela s'appellerait multivarié.
Le nom long de la distribution conjointe est distribution de probabilité conjointe. Le nom est abrégé car on sait déjà que ces distributions sont des probabilités. En anglais, cela s'appelle « joint distribution ».
Compte tenu du fait qu'il existe des variables aléatoires discrètes et des variables aléatoires continues, cette différence sera également présente pour les distributions conjointes.
Distribution conjointe pour les variables aléatoires discrètes
Soit X et W deux variables aléatoires discrètes et les réalisations de X et W x et w. Alors (X, W) aura une distribution conjointe à partir de la fonction de densité de probabilité conjointe de (X, W).
Fonction de densité de probabilité conjointe (fdpc)
Le fdpc nous donne la probabilité que la réalisation x et la réalisation w se produisent en même temps. Pour connaître la probabilité que cela se produise, nous devons multiplier la probabilité de x conditionnellement à w par la probabilité que x se produise. En d'autres termes, la probabilité que w se produise étant donné x et la probabilité que x se produise. De cette façon, nous obtiendrons la probabilité conjointe de x et w.
Puisque nous avons deux variables, nous pouvons exprimer la pdf du point de vue de la variable aléatoire X ou du point de vue de la variable aléatoire W.
Remplir cela :
Cette restriction est que la somme des probabilités conjointes doit donner 1, car ce sont des probabilités et celles-ci sont toujours comprises entre 0 et 1.
Distribution conjointe pour les variables aléatoires continues
Soit X et W deux variables aléatoires continues et soit les réalisations de X et W x et w. Alors (X, W) aura une distribution conjointe à partir de la fonction de densité de probabilité conjointe de (X, W).
Fonction de densité de probabilité conjointe (fdpc)
La logique pour le cas continu est la même que pour le cas discret.
Ces fonctions sont appelées fonctions de densité de probabilité marginale. Le premier pour la variable aléatoire X et le second pour la variable aléatoire W.
Remplir cela
Cette restriction est que la somme des probabilités conjointes doit donner 1, car ce sont des probabilités et celles-ci sont toujours comprises entre 0 et 1.
Application
En économie, il est très courant que les événements impliquent plus d'une variable aléatoire, par conséquent, il est nécessaire d'analyser la façon dont ces variables sont distribuées dans la même distribution.
