Le terme convexe est utilisé pour décrire une surface qui présente une courbure, son centre étant le côté avec la plus grande proéminence.
Par conséquent, nous disons que l'intérieur d'une sphère ou d'un trampoline (comme celui sur lequel les enfants jouent) est convexe. Ceci est dû au fait que sa partie centrale présente un affaissement plus important.
Il est possible d'analyser si les figures géométriques sont convexes, par exemple, dans le cas d'une parabole elle l'est lorsqu'elle est en forme de U.
Une astuce pédagogique pour se souvenir de la convexité est de penser que la forme de la courbe convexe est celle d'un smiley.
De plus, bien que nous ayons fait référence à la propriété de convexité comme quelque chose qui a une courbe, elle est également applicable aux fonctions mathématiques et aux polygones, comme nous le verrons ci-dessous.
Comment savoir si une fonction est convexe ?
Si la dérivée seconde d'une fonction est supérieure à zéro en un point, alors la fonction est convexe en ce point, dans sa représentation graphique.
Ce qui précède, formellement, est exprimé comme suit :
f »(x)> 0
Par exemple, la fonction f (x) = x2 + x + 3. Sa dérivée première f '(x) = 2x +1 et sa dérivée seconde f »(x) = 2. Par conséquent, la fonction f (x) = x2 + x + 3 est convexe pour toute valeur de x, comme on le voit dans l'image ci-dessous, qui est une parabole :
Imaginons maintenant cette autre fonction f (x) = - x3 + x2 + 3. Sa dérivée première f'(x) = -3x2 + 2x et sa dérivée seconde f »(x) = -6x + 2. Une fois la dérivée seconde calculée, il faut vérifier pour quelles valeurs de x, la fonction f (x) = -x3 + x2 + 3 est convexe.
Ainsi, nous définissons la dérivée seconde égale à 0 :
f »(x) = -6x + 2 = 0
6x = 2
x = 0,33
Par conséquent, la fonction est convexe lorsque x est inférieur à 0,33, puisque la dérivée seconde de l'équation est positive. Nous pouvons vérifier cela en remplaçant différentes valeurs de x. De même, la fonction devient concave lorsque x est supérieur à 0,33, comme on peut le voir sur le graphique ci-dessous.
Polygone convexe
Un polygone convexe est un polygone où il est vrai que deux points, n'importe lequel de la figure, peuvent être joints par une ligne droite qui restera toujours à l'intérieur du polygone. De plus, tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180º. On peut penser, par exemple, à un carré ou à un octogone régulier.
L'opposé est un polygone concave. C'est-à-dire celui où, au moins pour joindre deux de ses points, il faut tracer une ligne qui soit, partiellement ou totalement, à l'extérieur de la figure. Comme le montre la comparaison proposée ci-dessous :
