Un modèle mathématique est un modèle qui utilise des formules mathématiques pour représenter la relation entre différentes variables, paramètres et contraintes.
Un modèle mathématique est une représentation simplifiée, au moyen d'équations, de fonctions ou de formules mathématiques, d'un phénomène ou de la relation entre deux ou plusieurs variables. La branche des mathématiques qui est chargée d'étudier les qualités et la structure des modèles est ce qu'on appelle la « théorie des modèles ».
A quoi sert un modèle mathématique ?
Les modèles mathématiques sont utilisés pour analyser la relation entre deux ou plusieurs variables. Ils peuvent être utilisés pour comprendre des phénomènes naturels, sociaux, physiques, etc. Selon l'objectif recherché et la conception du même modèle, ils peuvent être utilisés pour prédire la valeur des variables dans le futur, faire des hypothèses, évaluer les effets d'une certaine politique ou activité, entre autres objectifs.
Bien que cela semble un concept théorique, en réalité, de nombreux aspects de la vie quotidienne sont régis par des modèles mathématiques. Ce qui se passe, c'est que ce ne sont pas des modèles mathématiques axés sur la théorisation. Ce sont plutôt des modèles mathématiques formulés pour faire fonctionner quelque chose. Par exemple, une voiture.
Éléments de base d'un modèle mathématique
Les modèles mathématiques peuvent varier dans leur complexité, mais ils ont tous un ensemble de caractéristiques de base :
- Variables: Ce sont les concepts ou objets que l'on cherche à comprendre ou à analyser. Surtout en ce qui concerne sa relation avec d'autres variables. Ainsi, par exemple, une variable peut être le salaire des travailleurs et ce que l'on veut analyser ce sont leurs principaux déterminants (par exemple : années d'études, éducation des parents, lieu de naissance, etc.).
- Paramètres: Ce sont des valeurs connues ou contrôlables du modèle.
- Restrictions: Ce sont certaines limites qui indiquent que les résultats de l'analyse sont raisonnables. Par exemple, si l'une des variables est le nombre d'enfants d'une famille, une restriction naturelle est que cette valeur ne peut pas être négative.
- Liens entre les variables: Le modèle établit une certaine relation entre les variables fondées sur des théories économiques, physiques, chimiques, etc.
- Représentations simplifiées: Une des caractéristiques essentielles d'un modèle mathématique est la représentation des relations entre les variables étudiées à travers des éléments de mathématiques tels que : fonctions, équations, formules, etc.
Propriétés souhaitées d'un modèle mathématique
Lorsqu'un modèle mathématique est conçu, il est prévu qu'il possède un ensemble de propriétés qui contribuent à assurer sa robustesse et son efficacité. Parmi ces propriétés figurent :
- Simplicité: L'un des principaux objectifs d'un modèle mathématique est de simplifier la réalité afin de mieux la comprendre.
- Objectivité: Qu'il n'ait de préjugés ni théoriques ni des préjugés ou des idées de ses concepteurs.
- Sensibilité: Qu'il est capable de refléter les effets de petites variations.
- Stabilité: Que le modèle mathématique n'est pas significativement altéré lorsqu'il y a de petits changements dans les variables.
- Universalité: Qu'elle s'applique à plusieurs contextes et pas seulement à un cas particulier.
Évidemment, il y en a beaucoup plus, mais ce qui précède est le plus intuitif.
Processus pour créer un modèle mathématique
De manière générale, le processus d'élaboration d'un modèle mathématique est le suivant :
- Trouvez un phénomène ou un problème.
- Formuler un modèle avec des éléments de mathématiques représentant le problème choisi en identifiant les variables pertinentes (dépendantes et indépendantes).
- Établir des hypothèses et une méthode de test pour sa véracité.
- Appliquer des connaissances mathématiques pour résoudre le modèle et faire des prédictions si nécessaire.
- Faire des comparaisons des données obtenues avec des données réelles.
- Si les résultats ne répondent pas aux attentes, ajustez le modèle mathématique.
Types de modèles mathématiques
Il existe différents types de modèles mathématiques. Voici quelques-uns des types de modèles les plus pertinents :
Selon les informations utilisées
- Heuristique: Sur la base d'explications possibles sur les causes des phénomènes observés.
- Empirique: Utilise des informations provenant d'expérimentations réelles.
Selon le type de représentation
- Qualitatif ou conceptuel : Ils se réfèrent à une analyse de la qualité ou de la tendance d'un phénomène sans en calculer une valeur exacte.
- Quantitatif ou numérique: Les résultats obtenus ont une valeur spécifique qui a une certaine signification (elle peut être exacte ou relative).
Selon le hasard
- Déterministe : Il n'y a aucune incertitude, les valeurs sont connues.
- Stochastique: La valeur des variables n'est pas connue exactement à tout moment. Il existe une incertitude et donc une distribution de probabilité des résultats.
Selon votre application ou objectif
- Simulation ou descriptif: Simule ou décrit un phénomène. Les résultats sont axés sur la prédiction de ce qui se passera dans une certaine situation.
- Optimisation: Ils sont utilisés pour trouver une solution optimale à un problème.
- De contrôle: Maintenir le contrôle d'une organisation ou d'un système et déterminer les variables qui doivent être ajustées pour obtenir les résultats souhaités.