Les degrés de liberté sont la combinaison du nombre d'observations dans un ensemble de données qui varient de manière aléatoire et indépendante moins les observations qui dépendent de ces valeurs arbitraires.
Autrement dit, les degrés de liberté sont le nombre d'observations purement libres (qui peuvent varier) lorsque l'on estime les paramètres.
Nous distinguons principalement les statistiques qui utilisent des paramètres de population et d'échantillon pour connaître leurs degrés de liberté. Nous discutons des différences entre la moyenne et l'écart-type lorsque les paramètres sont population ou échantillon :
Paramètres de population et d'échantillon
- Paramètres de population :
Puisque dans les populations on ne connaît pas toutes les valeurs, les degrés de liberté vont être tous les éléments de la population : N.
Les deux statistiques permettent à toutes les observations de l'ensemble d'être aléatoires et, par conséquent, chaque fois que nous estimons la statistique, nous obtenons des résultats différents. Ensuite, les observations qui ont le plein droit de varier sont toutes les observations de l'ensemble de population. En d'autres termes, les degrés de liberté dans ce cas sont tous les éléments de la population : N. Pour cette raison, nous divisons les deux statistiques par la taille totale de la population (N).
- Exemples de paramètres (estimations) :
Dans les échantillons, nous connaissons toutes les valeurs.
On différencie la taille de la population (N) de la taille de l'échantillon (n).
Puisque nous connaissons toutes les valeurs dans les échantillons, nous n'avons aucun problème à calculer la moyenne car cela permet à toutes les observations de l'ensemble d'être aléatoires.
Dans le cas de l'écart type, on impose une restriction sur les degrés de liberté : tous les éléments de l'échantillon (n) et on soustrait 1 élément.
Mais… Pourquoi ne soustrayons-nous que 1 et non 5 ou 10 éléments de l'échantillon (n) ?
Plus nous soustrayons d'éléments, cela signifie que plus nous avons d'informations sur le paramètre de l'échantillon, dans ce cas, l'écart type.
Plus nous avons d'informations, moins les observations de l'échantillon ont de liberté (degrés de liberté) pour prendre des valeurs aléatoires. Plus nous soustrayons d'éléments de l'échantillon, plus nous imposons de limitations et moins le paramètre de l'échantillon aura de degrés de liberté.
Exemple
Nous supposons que nous allons en Andorre pour voir les finales de la Coupe du monde de ski car nous aimons beaucoup le ski alpin. Nous apportons une carte qui nous indique où se situent les différentes disciplines et le nom de certains concurrents, mais le numéro de départ de chaque participant n'est pas précisé. Chaque fois qu'ils prononcent le nom du concurrent, nous rayons son nom. La liste des concurrents étant limitée, il viendra un moment où nous connaîtrons le nom du concurrent avant qu'il ne l'annonce dans les haut-parleurs.
Nous analysons la chronique d'un point de vue mathématique :
- Taille de l'échantillon (n) car ils ne nous disent que le nom de certains des participants.
- Chaque participant peut commencer au hasard, l'ordre n'a pas d'importance et ne peut plus concourir (combinaisons sans répétitions).
- Le dernier participant sera l'élément connu (n-1). Ensuite, tous les autres participants peuvent sortir au hasard sauf le dernier, dont nous savons avec certitude.
Lire l'exemple des degrés de liberté