Le dodécaèdre est un polyèdre à douze faces, trente arêtes et vingt sommets. C'est une figure en trois dimensions composée de plusieurs polygones, dont chacun a onze côtés ou moins.
Le dodécaèdre se caractérise par être une figure solide et, selon certaines recherches scientifiques, il pourrait se rapprocher de ce que serait la représentation de l'univers.
Un dodécaèdre est régulier lorsqu'il est constitué de douze pentagones réguliers (polygones à cinq côtés), comme nous le verrons plus loin.
Éléments d'un dodécaèdre
Les éléments d'un dodécaèdre, nous guidant à partir de la figure ci-dessous, sont :
- Visages: Ce sont les côtés du polyèdre qui, dans le cas de l'image d'exemple, sont tous des pentagones, comme celui formé par ABCKQ et qui est d'une autre couleur.
- Bords: C'est le segment qui représente l'union de deux faces comme AB ou BC.
- Sommets : Ce sont ces points où il y a un avantage avec les autres. Dans la figure, ils seraient : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S et T.
- Angle de dièdre : Il est constitué de l'union de deux faces.
- Angle du polyèdre : C'est celui qui est formé par les côtés qui se rejoignent en un seul sommet de la figure.
Types de dodécaèdre
Les dodécaèdres peuvent être classés selon différents critères. Par exemple, selon leur forme, ils peuvent être :
- Convexe: Quand joindre deux points quelconques du polyèdre, une ligne droite peut être tracée qui ne quitte pas la figure.
- Concave: Si au moins deux points du dodécaèdre peuvent être reliés par une ligne droite qui, à un moment donné, quitte la figure.
De même, selon leur régularité, ils peuvent être :
- Régulier: Tous leurs visages sont égaux les uns aux autres, étant des pentagones réguliers. C'est-à-dire dont les cinq côtés mesurent la même chose et leurs angles internes sont également égaux (voir l'image ci-dessus).
- Irrégulier: Ce sont tous ceux dont les faces sont différentes, chacune étant un polygone régulier ou non.
Dans l'image où nous expliquons les éléments du dodécaèdre, nous montrons le cas d'un dodécaèdre régulier.
Aire et volume d'un dodécaèdre
En général, pour trouver l'aire d'un dodécaèdre il faudrait additionner l'aire de tous ses côtés.
En nous limitant au cas du dodécaèdre régulier, nous pouvons calculer l'aire (A) et le volume (V) avec les formules suivantes, où a est le côté de chaque pentagone qui forme la figure :
Exemple de dodécaèdre
Si nous avons un dodécaèdre régulier formé de pentagones qui ont un périmètre de 30 mètres. Quelle est l'aire et le volume du polyèdre ?
Tout d'abord, nous devons trouver à, en divisant le périmètre par le nombre de côtés, car ils sont tous égaux :
a = 30/5 = 6
Ensuite, nous appliquons les formules indiquées ci-dessus :
